derivați private de ordin superior

După cum sa menționat deja, derivații se numesc prim ordin derivate partiale partiale sau primele. derivate parțiale se pot fi funcții de mai multe variabile pe un anumit set. Aceste funcții pot fi, de asemenea, parțial, așa-numitele repetate, derivați de x, y și amestecate sau cu derivate parțiale.

Astfel, a doua derivatele parțiale sunt identificate după cum urmează:

În mod similar sunt definite derivate parțiale a 3, 4 și comenzi mai mari. De exemplu, pentru funcția z = f (x, y), avem:

. Derivatele parțiale de ordinul al doilea sau mai mare, luate la diferite variabile numite instrumente derivate mixte parțiale. Pentru aceste funcții sunt derivate. Rețineți că, atunci când derivații sunt amestecate continuu, următoarea ecuație.

Exemplul 5. Găsiți ordinul doi derivatele parțiale ale funcției

.

Decizie. Prim ordin derivate parțiale ale acestei funcții se găsesc în Exemplul 3:

Și diferențierea în ceea ce privește x și y, obținem

,

;

;

.

5. extremum unei funcții de mai multe variabile. Condițiile necesare și suficiente pentru existența extremum

derivate parțiale se pot fi funcții de mai multe variabile pe un anumit set. Aceste funcții pot fi, de asemenea, derivatele parțiale în raport cu x și y. Ei nazyvayutsyavtorymi ordine parțială sau parțială a doua și sunt desemnate zxx. zyy“, zxy sau. conform definiției

; . Ultimul din al doilea derivat parțial ordin numit mixt. Derivatul parțială mixt al doilea ordin, în general, depinde de ordinea în care sunt luate variabilele pe care se calculează derivatul. Astfel, derivatul. Cu toate acestea, există o teoremă, care prevede că, dacă un amestec derivate partiale de ordinul doi sunt continue, ele nu depind de secvența în care

calculate derivate parțiale ale lui x și y.