Cum de a găsi determinantul unei matrice 3x3 1

Determinanții matrici sunt adesea folosite în calcule, algebra liniara si geometria analitica. În afara academice determinanții lumea de matrice care au nevoie constantă de ingineri și programatori, în special cei care lucrează cu grafica pe calculator. [1] Dacă știți deja cum să găsească determinantul matricei de 2x2, apoi un instrument pentru identificarea determinantul 3x3 va trebui doar adunarea, scăderea și înmulțirea.

pași Editare

Metoda 1 de la 2:
Căutare Editare factor determinant

Înregistrarea matrice de 3 x 3. Scriem matricea de 3 x 3, care este notat cu M, și pentru a găsi său determinant | M |. Următoarele este forma generală a matricei, pe care o vom folosi și matricea de exemplul nostru:

• M = (a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) a_-a_-o _ \\ a_-a_-o _ \\ a_- a_-a_ \ end> ​​= 1-5-3 \\ \\ 2-4-7 4-6-2 \ end >>

Selectați rândul sau coloana a matricei. Acest rând (sau coloana) va sprijini. Rezultatul va fi același, indiferent de linie sau o coloană selectați. În acest exemplu, să luăm primul rând. Puțin mai târziu, veți găsi câteva sfaturi despre cum să selectați un rând sau o coloană pentru a simplifica calculele.

• Să alegem primul rând al matricei M în acest exemplu. Cercul Mai 1 3. Forma generală a cercului a11 a12 a13.

Taie rând sau o coloană la primul element. Consultați linia de referință (sau coloana la referință) și selectați primul element. Egal orizontală și o linie verticală prin acest element, prin aceasta ștergând coloană și rând cu acest element. Ar trebui să rămână patru numere. Presupunem că aceste elemente ale noii dimensiuni matrice 2 x 2.

• În acest exemplu, linia de referință 1 3. doresc pot Primul element este la intersecția primei coloane și în primul rând. Taie rândul și coloana acel element, adică primul termen și prima coloană. Se înregistrează elementele rămase într-o matrice de 2 x 2.
• 1 5 3
• 24 iulie
• 46 2

Găsiți determinantul 2 x 2. Rețineți că determinantul (a b c d) a-b \\ c-d \ end >> calculate ca ad - bc. [2] Pe ​​această bază, puteți calcula determinantul matricei rezultantă a 2 x 2, care, dacă va, poate fi desemnat ca X. Înmulțiți cele două numere ale matricei X, sunt conectate în diagonală de la stânga la dreapta (adică, după cum urmează: \). Apoi se scade produsul din alte două numere pe diagonală de la dreapta la stânga (care este, după cum urmează: /). Utilizați această formulă pentru a calcula determinantul matricei, pe care tocmai ați primit.

• In exemplul nostru, determinantul matricei (4 7 6 2) 4-7 6-2 \\ \ end >> = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
• Acest factor determinant este numit un element minor, pe care am ales matricea originala. [3] Cu alte cuvinte, am găsit doar a11 Minor.

Inmultiti răspunsul obținut la elementul selectat al matricei M. Recall ce element al liniei de referință (sau coloana) am folosit când radiat celelalte elemente ale rândului și coloanei pentru a obține o matrice nouă. Inmultiti acest articol de pe Minor rezultat (determinantul matricei 2x2, care vom nota X).

• În exemplul nostru, am ales elementul a11. care a fost egală cu 1. Înmulțire-l la -34 (determinantul matricei 2x2), și obținem 1 * -34 = -34.

Determina semnul rezultatului. În continuare, va trebui să înmulțiți rezultatul cu 1 sau -1 pentru a obține cofactor (cofactor) a elementului selectat. Semnul cofactor va depinde de locul în care matricea 3x3 de element de cost. Amintiți-vă acest simplu semne program pentru a cunoaște semnul unui cofactor:

• + - +
• - + -
• + - +
• Așa cum am lucrat cu elementul A11. pentru care există un semn +, vom multiplica această valoare de unul (care este, lăsați-o așa). Cofactor al elementului nostru va fi egal cu -34.
• Puteți găsi, de asemenea un semn al complementul algebric cu formula (-1) i + j. unde i și j - numărul coloanei și rândul elementului selectat, respectiv. [4]

Se repetă procedura de mai sus cu rândul al doilea element de susținere (sau coloana). Întoarceți-vă la matricea inițială de 3x3 și un bar, pe care ne-am încercuit la începutul calculelor. Se repetă toate etapele cu acest element:

• Taie rândul și coloana acel element. În exemplul nostru, avem de a alege elementul A12 (5). Ștergem prima linie (1 5 3) și o a doua coloană (5 4 6) 5 4 \\ \\ 6 \ end >> matrice.
• Se înregistrează elementele rămase în forma unei matrice 2x2. În acest exemplu, matricea va avea forma (2 7 4 2) 2-7 4-2 \\ \ end >>
• Găsiți factor determinant al acestei noi matrice 2x2. Utilizați anunțul formula de mai sus - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
• Inmultiti determinantul rezultat pentru matricea de selecție 3x3. -24 -120 * 5 =
• Verificați dacă rezultatul este înmulțit cu -1 este necesar. Folosind formula (-1) ij. pentru a determina semnul adăugării algebrice. A12 pentru elementul ales în tabel este specificat semnul „-“, același rezultat se obține și formula. Adică, trebuie să ne schimbăm semnul: (-1) * (- 120) = 120.

Se repetă cu al treilea element. Apoi, trebuie să găsească un alt cofactor al. Calculați-l la ultima linie de referință element sau o coloană de referință. Ceea ce urmează este o scurtă descriere a modului în care cofactor calculat pentru A13 în acest exemplu:

• Taie primul rând și a treia coloană pentru a obține matricea (2 4 4 6) 2-4 4-6 \\ \ end >>
• determinantul său este 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
• Înmulțiți rezultatul A13 elementului. -4 * 3 = -12.
• elementul A13 are semnul + în tabelul de mai sus, astfel încât răspunsul este -12.

Adunați rezultatele. Acesta este ultimul pas. Nu trebuie să adăugați elemente de linie cofactori derivate de referință (sau coloana de referință). Pune-le împreună și veți obține valoarea determinantul matricei 3x3.

• In exemplul nostru, determinantul este egal cu + 120 + -34 -12 = 74.

Selectați ca linie de referință (sau coloana) a celui care are mai multe zerouri. Amintiți-vă că, în calitate de referință, puteți selecta orice rând sau coloană. Alegerea rândului de referință sau coloana nu afectează rezultatul. Dacă alegeți linia cu cel mai mare număr de zerouri, aveți pentru a efectua mai putine calcule, pentru că va trebui să calculeze cofactori doar elemente de zero. Iată de ce:

• Să presupunem că ați ales să A21 2 elemente de linie. A22. și A23. Pentru a găsi determinantul, va trebui să găsească factorii determinanți ai celor trei matrice diferite de dimensiune 2x2. Să-i numim A21. A22. și A23.
• Acesta este egal cu determinantul 3x3 A21 | A21 | - A22 | A22 | + A23 | A23 |.
• În cazul în care ambele elemente A22 și A23 sunt egale cu 0, atunci formula noastră devine A21 mult mai scurtă | A21 | - 0 * | A22 | + 0 * | A23 | = A21 | A21 | - 0 + 0 = A21 | A21 |. Acest lucru este necesar doar pentru a calcula cofactor elementului.

Utilizați adăugarea de linii pentru a simplifica matricea. Dacă luați o linie și adăugați-l la o alta, determinantul matricei nu se schimbă. Același lucru este valabil și pentru coloanele. Astfel de acțiuni pot fi efectuate de mai multe ori, în plus, vă puteți multiplica valoarea constantei șir (înainte de adăugarea), în scopul de a obține cât mai multe zerouri posibil. Astfel de acțiuni pot salva o mulțime de timp.

• De exemplu, avem o matrice de trei rânduri (9 - 1 2 3 1 0 7 5 - 2) 9--1-2 \\ 3-1-0 \\ 7-5--2 \ end >>
• Pentru a scăpa de elementul 9 A11 la fața locului. putem multiplica linia a doua -3 și se adaugă rezultatul la primul. Noul prim rând este [-1 2 9] + [0 -3 -9] = [2 -4 0].
• Adică, obținem o matrice nouă (0 - 4 2 3 1 0 7 5 - 2) 0--4-2 \\ 3-1-0 \\ 7-5--2 \ end >> Încercați să facă același lucru cu coloane, pentru a ajunge la fața locului elementul A12 zero.

Amintiți-vă că pentru a calcula determinantul matricilor triunghiulare sunt mult mai simple. Determinantul matricelor triunghiulare se calculează ca produsul dintre elementele de pe diagonala principală, din A11, în colțul din stânga sus a a33 în colțul din dreapta jos. Un caz este o dimensiune de 3x3 matrice triunghiulară. matrice triunghiulara poate fi de următoarele tipuri, în funcție de locația valorilor nenule: [5]

• superioară Matricea triunghiulară: Toate elementele nenule sunt situate pe diagonala principală și deasupra acesteia. Toate elementele de sub diagonala principală sunt zero.
• matrice triunghiulară inferioară: Toate elementele nenule sunt situate sub diagonala principală și pe ea.
• matrice diagonală: Toate elementele nenule sunt situate pe diagonala principală. Acesta este un caz special al matricelor de mai sus.